Pierre Hyvernat

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Plans des kaléidoscopes
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Exercices

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Plans des kaléidoscopes

Envoyez moi des photos si vous construisez de tels kaleidoscopes !

Références

Livres et articles

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, AK Peters, 2008
Frank A. Farris, Creating Symmetry, the artful mathematics of wallpaper patterns, Princeton University Press, 2012
Martin Gardner, Extraordinary non-periodic tiling that enriches the theory of tiles, Scientific American, janvier 1977 (n° 236, pages 110--121)

reproduit dans Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W.H.Freeman & Co Ltd, 1989

disponible en ligne http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/focus/Gardner_PenroseTilings1-1977.pdf
Jean-Paul Delahaye, La quête du pavé apériodique unique, Pour la science, novembre 2013 (n° 240)

disponible en ligne http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/2013/240.pdf
Jean-Paul Delahaye, Les pavages pentagonaux: une classification qui s'améliore, Pour la science, octobre 2013 (n° 239),

disponible en ligne http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/2013/239.pdf

Sites divers

Kenneth G. Libbrecht, professeur de physique au California Institute of technology (Caltech), spécialiste des flocons de neige
"kaleidoscope mirror designs", avec des explications et de nombreuses photos de kaléidoscopes, dont des kaléidoscopes sphériques
Mark Newbold's POV-Ray Kaleidoscopes, point de départ pour la générations d'images de kaléidoscopes virtuels

Images

Frises

22∞
...

2*∞
...

∞×
...

∞∞
...

∞*
...

*22∞
...

*∞∞
...

Pavages périodiques du plan

Les images suivantes ont été générées avec le programme create_symmetry.

Rotations pures


2222 ditropique		442 quadritropique


333 tritropique		632 hexatropique

Réflexions pures


*2222 discopique		*442 quadriscopique


*333 triscopique		*632 hexascopique

Mixte


2*22 dirhombique		22* digyro


4*2 tetragyro		3*3 trigyro

Autres


** monoscopique		×× monoglisse

*× monorhombique		22× diglisse

Le dernier

Ce motif n'est invariant par aucune symétrie en plus des deux translations.


o monotropique

Pavagages périodiques de la sphère

Les images suivantes ont été générées avec le programme create_symmetry.


332	432	532

*332	*432	*532

3*2


NN (N=5)	22N (N=5)

*NN (N=5)	*22N (N=5)


2*N (N=5)	N× (N=5)	N* (N=5)

Kaléidoscopes

Les images suivantes ont été générées avec le programme povray.

La première image utilise des miroirs imparfaits avec perte de luminosité au fur et à mesure des réflexions, et la seconde image utilise des miroirs parfaits.

Rosaces


*N• (N=7)

Plan


*442		*442

*333		632

Sphère


*332		*432

*532		*22N (N=7)

Exercices

Rosaces

Les 2 types de rosaces sont :

*N• pour les rosaces avec un point miroir N (mais pas de point miroir d'ordre supérieur à N),
N• pour les rosaces avec un centre de rotation d'ordre N (mais pas d'ordre supérieur à N), sans point miroir.

Pour rappel, un point miroir d'ordre N est l'intersection de N axes de réflexion. Le flocon de neige suivant a donc un point miroir d'ordre 6... (La photo originale a été prise par Kenneth G. Libbrecht)

Reconnaitre les rosaces

Cherchez le type de rosaces des images suivantes...

Donnez le type de symétrie de chacune des lettres, minuscules et majuscules, ainsi que des chiffres...

 a  b  c  d  e  f  g  h  i  j  k  l  m  n  o  p  q  r  s  t  u  v  w  x  y  z 
 A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y  Z 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9

Fabriquer des rosaces

Si on plie une feuille en 2 et qu'on découpe un motif avant de la déplier, le résultat aura un axe de symétrie.

Est-il possible de plier une feuille pour obtenir des rosace de type *N• ?
Essayez de former un cône avec deux épaisseurs à partir d'une feuille comportant une demi-droite coupée. (Le sommet du cone sera le point de départ de la demi-droite.)

Découpez un motif le long du bord large du cône et dépliez le résultat. (Remarque : il est utile de scotcher le cone pour qu'il ne s'ouvre pas pendant la découpe...)

Quelle symétrie obtenez-vous ?
Est-il possible d'obtenir tous les types de symétries des rosaces en découpant une feuille de papier ?